Kenapa turunan dari $e^x$ adalah $e^x$ ?

subjek:matematika
materi:kalkulus
oleh:Fikri Mulyana Setiawan

hallo semuanya!!

Konstanta euler ($e^x$) adalah salah satu konstanta yang unik dalam matematika.konstanta ini banyak dipakai dalam bidang pengetahuan seperti fisika,ekonomi,dan sebagainya.Selain itu ada keunikan lain,yaitu turunan (diferensial) dari persamaan $y=e^x$ akan menghasilkan $e^x$ juga,tapi kenapa begitu? nah,disini kita akan membahasnya bersama-sama

sebelum mencoba untuk menurunkan persamaan tadi,terlebih dahulu kita harus mengetahui definisi dari turunan.secara sederhana,turunan menunjukkan seberapa cepat suatu hal berubah.dalam konteks matematika,"hal" yang dimaksud itu berupa persamaan.

secara matematis,definisi turunan dari fungsi $f\left(x\right)$ adalah:
$\underset{\Delta x->0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f\left(x\right)}{\Delta x}$

jika $f\left(x\right)=e^x$ ,maka turunan dari $f\left(x\right)$ adalah:
$\frac{dy}{dx}=\underset{\Delta x->0}{lim}\frac{e^{x+\Delta x}+e^x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x->0}{lim}\frac{e^x{e}^{\Delta x}-e^x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x->0}{lim}\frac{e^x(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$

$=e^x\underset{\Delta x->0}{lim}\frac{(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}$

karena $\underset{\Delta x->}{lim}\frac{(e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}=0$,maka:
$\frac{dy}{dx}=e^x.1$
karena $y=e^x$,maka persamaan di atas menjadi:
$\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x$

serangkaian langkah-langkah di atas menunjukkan bahwa turunan dari $e^x$ tetap akan menghasilkan $e^x$,berapa kalipun kita menurunkan nya.